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행렬의 역행렬을 구하는 방법으로는 주로 가우스-조던 소거법(Gauss-Jordan Elimination)과 일반적인 방법(여인수를 통한 adjoint 방법)이 있습니다. 4x4 행렬의 역행렬을 구하는 경우, 이 두 방법의 연산량 차이를 분석해 보겠습니다.

가우스-조던 소거법을 이용한 역행렬 계산

가우스-조던 소거법은 행렬을 확장하여 [A|I]의 형태 (여기서 A는 원래의 행렬, I는 단위 행렬)로 시작합니다. 이후, 행렬 A를 단위 행렬로 변환하는 과정에서 동시에 I는 A의 역행렬로 변환됩니다.

연산 과정은 다음과 같습니다:

1. 피벗을 찾아 피벗이 있는 행을 1로 만듭니다.
2. 피벗 열의 다른 모든 위치를 0으로 만듭니다. 이는 피벗 행을 적절히 더하거나 빼서 이루어집니다.

연산량 추정:

• 각 원소에 대해 피벗 만들기: 대략 1회의 나눗셈
• 행렬의 각 열에서 피벗을 제외한 나머지 위치의 원소를 0으로 만들기: 대략 3회의 곱셈과 덧셈 (4x4 행렬에서 피벗을 제외한 3개의 원소)

따라서 각 피벗에 대해 3×4=123×4=12 회의 연산(곱셈/덧셈), 4회의 나눗셈이 필요하며, 전체 피벗에 대해서는 4×12=484×12=48 회의 연산과 4회의 나눗셈이 필요합니다. 이는 대략 48+4=5248+4=52 회의 주 연산을 의미합니다.

일반적인 방법 (여인수를 통한 계산)

일반적인 방법은 다음과 같습니다:

1. 각 원소에 대한 여인수(Cofactor)를 계산
2. 여인수를 이용해 수반 행렬(Adjoint)을 구성
3. 수반 행렬을 원래 행렬의 행렬식(Determinant)으로 나눔

연산량 추정:

• 여인수 계산: 각 원소마다 3x3 행렬의 행렬식을 계산. 각 3x3 행렬식은 9회의 곱셈과 5회의 덧셈/뺄셈 필요.
• 전체 여인수 계산: 16 개의 원소 각각에 대해 연산이 필요하므로 16×(9+5)=224 회의 연산.16×(9+5)=224
• 16
• 행렬식 계산: 4x4 행렬의 행렬식 계산은 4개의 3x3 행렬식 계산 필요하므로, 4×14=56 회의 추가 연산.
• 4×14=56
• 수반 행렬로부터 역행렬 계산: 각 원소를 행렬식으로 나누기: 16회의 나눗셈.

이렇게 볼 때, 일반적인 방법의 연산량은 224+56=280224+56=280 회의 곱셈/덧셈과 16회의 나눗셈이 필요합니다.

결론

가우스-조던 소거법과 비교하여, 일반적인 여인수 방법은 훨씬 많은 연산을 요구합니다. 가우스-조던 방법은 대략 52회의 주 연산이 필요한 반면, 일반적인 방법은 280회 이상의 복잡한 연산을 필요로 하므로, 효율성 측면에서 가우스-조던 방법이 훨씬 우수합니다. 이는 특히 큰 행렬에서 더욱 두드러집니다. 따라서 역행렬을 구할 때는 가능한 가우스-조던 소거법을 사용하는 것이 좋습니다.